Могут ли не уволить, если осталась недоделанная работа?

Могут, а почему нет, у нас нигде в законе не сказано что не могут уволить людей предпенсионного возвраста.

С Уважением,

Могут, в связи с сокращением штата.

Правомерно вас сократят или нет, должно рассматриваться в каждом конкретном случае.

При увольнении главными критериями являются производительность и квалификация, только после этого учитываются остальные факторы.

Трудовой кодекс РФ - Статья 179. Преимущественное право на оставление на работе при сокращении численности или штата работников

При сокращении численности или штата работников преимущественное право на оставление на работе предоставляется работникам с более высокой производительностью труда и квалификацией.

При равной производительности труда и квалификации предпочтение в оставлении на работе отдается: семейным - при наличии двух или более иждивенцев (нетрудоспособных членов семьи, находящихся на полном содержании работника или получающих от него помощь, которая является для них постоянным и основным источником средств к существованию); лицам, в семье которых нет других работников с самостоятельным заработком; работникам, получившим в период работы у данного работодателя трудовое увечье или профессиональное заболевание; инвалидам Великой Отечественной войны и инвалидам боевых действий по защите Отечества; работникам, повышающим свою квалификацию по направлению работодателя без отрыва от работы.

Если вы считаете, что при увольнении не было учтено ваше преимущественное право, то в течении месяца, вы можете обратиться в суд с иском о восстановлении на работе.