Можно ли брать выходные по одному дню в неделю по статье 262 ТК РФ и что происходит, если не использовать все выходные?

Ни в трудовом кодексе РФ, ни в разъяснениях не содержатся ограничения, о которых вам говорят работники кадров.

Статья 262. Дополнительные выходные дни лицам, осуществляющим уход за детьми-инвалидами, и женщинам, работающим в сельской местности

Одному из родителей (опекуну, попечителю) для ухода за детьми-инвалидами по его письменному заявлению предоставляются четыре дополнительных оплачиваемых выходных дня в месяц, которые могут быть использованы одним из указанных лиц либо разделены ими между собой по их усмотрению. Оплата каждого дополнительного выходного дня производится в размере среднего заработка и порядке, который устанавливается федеральными законами.

Женщинам, работающим в сельской местности, может предоставляться по их письменному заявлению один дополнительный выходной день в месяц без сохранения заработной платы.

Порядок предоставления дополнительных оплачиваемых выходных дней регулирует разъяснение Минтруда РФ и Фонда социального страхования РФ от 4 апреля 2000 г. N 3/02-18/05-2256 "О порядке предоставления и оплаты дополнительных выходных дней в месяц одному из работающих родителей (опекуну, попечителю) для ухода за детьми-инвалидами", утвержденное Постановлением Минтруда РФ и Фонда социального страхования РФ от 4 апреля 2000 г. N 26/34, с изменениями от 15 апреля 2002 г.