Может ли сын унаследовать долю в квартире у материевского партнера?

Нет, не может, так как вы не являетесь собственником

Здравствуйте. Не может.

Здравствуйте, нет не может. Так как имущество принадлежит женщины.

Если сын являлся иждивенцем то да, может получить долю в квартире, Вера Геннадьевна.

ГК РФ Статья 1148.

2. К наследникам по закону относятся граждане, которые не входят в круг наследников, указанных в статьях 1142 - 1145 настоящего Кодекса, но ко дню открытия наследства являлись нетрудоспособными и не менее года до смерти наследодателя находились на его иждивении[b][/b] и проживали совместно с ним. При наличии других наследников по закону они наследуют вместе и наравне с наследниками той очереди, которая призывается к наследованию.

По закону всего лишь факт регистрации (прописки) гражданина в чужой квартире не влечет возникновения права собственности на долю этой квартиры.

Поскольку у Вас нет права собственности на долю в квартире вашей сожительницы, то и после вашей смерти ни сын, никто другой из наследников не сможет стать сособственником долей этой квартиры, претендовать на нее.

Даже если сожительница сегодня разрешить зарегистрировать (прописать) вашего сына в своей квартиры, то после вашей семрти она сможет через суд снять его с регучета (выписать) из квартиры.

Нет, если квартира Вам не принадлежит, то и в состав Вашего наследства она входить не будет.