Как восстановить утерянное свидетельство о рождении при смене места прописки?

Может обратиться он конечно же в загс. По месту нахождения.

Может лично обратиться, может обратиться его поверенный по доверенности.

В любой отдел ЗАГС может обратиться.

За получением дубликата свидетельства вам необходимо обратиться в любой орган ЗАГС по вашему выбору. Если вы обращаетесь в орган ЗАГС лично, дубликат свидетельства выдается, как правило, в день обращения (п. 2 ст. 6, п. п. 1, 4 ст. 9 Закона N 143-ФЗ).

Подать заявление в орган ЗАГС можно лично, по почте, через МФЦ (в некоторых субъектах РФ) либо в форме электронного документа через Единый портал госуслуг (п. п. 4, 5 ст. 9 Закона N 143-ФЗ).

За получением повторного свидетельства могут обратиться, в частности, следующие лица (п. 2 ст. 9 Закона N 143-ФЗ):

1)лицо, в отношении которого была составлена запись акта гражданского состояния;

...

3)родители (лица, их заменяющие) - в случае получения дубликата свидетельства о рождении ребенка, не достигшего ко дню выдачи повторного свидетельства 18 лет (если ребенок достиг совершеннолетия, его родителям (одному из них) выдается иной документ, подтверждающий факт государственной регистрации рождения ребенка - справка).

Если нужно получить дубликат свидетельства обращаться нужно лично.

По месту жительства обращается в ЗАГС, пишет заявление на получение дубликата и оплачивает госпошлину. Сроки изготовления скажут в ЗАГСе.