Могут ли меня и моего ребенка выписать из квартиры, если мы не входим в приватизацию?

К сожалению, исходя из того что вы описали, суд скорее всего выпишет вас из квартиры. Дарение на тётю было сделано именно для этого. Как новый собственник она имеет право освободить своё новое жильё от членов семьи прежнего собственника. Кроме того, суд обязательно учтёт, что вы уже давно и добровольно выехали из квартиры, не предпринимали попыток обратного вселения, не живёте в этой квартире много лет и не участвовали в её содержании.

Но один момент хотелось бы прояснить подробнее: вы сказали, что над бабушкой была установлена опека и опекун та же тётя. Вот тут уже интересно - а незлоупотребила ли тётя своими правами опекуна, принимая в дар бабушкину квартиру? Я бы советовал вам внимательно изучить этот момент. Ведь если появятся основания признать договор дарения недействительным, то, успешно оспорив его, вы добьётесь оставления иска вашей тёти без рассмотрения.

Уточните - в связи с чем была введена опека над бабушкой? Ограничена ли она судом в дееспособности?

Кардинально ситуацию это не изменит. Ведь даже если вы сможете оспорить сделку, и собственность на квартиру вернётся обратно к бабушке - иск о вашем выселени подаст уже сама бабушка. Просто правовые основания этого иска будут немного другие. Но там у вас хотя бы будет шанс. В отличие от вашей нынешней ситуации.