Завещание он написал под страхом, что его некому похоронить.

Уважаемая Наталья! Безусловно Ваш вопрос требует дополнительной информации, а решать ситуацию можно по трём аспектам. Согласно ст.1117 ГК РФ не наследуют ни по закону, ни по завещанию граждане, которые своими умышленными противоправными действиями, направленными против наследодателя, кого-либо из его наследников или против осуществления последней воли наследодателя, выраженной в завещании, способствовали либо пытались способствовать призванию их самих или других лиц к наследованию либо способствовали или пытались способствовать увеличению причитающейся им или другим лицам доли наследства, если эти обстоятельства подтверждены в судебном порядке. Однако граждане, которым наследодатель после утраты ими права наследования завещал имущество, вправе наследовать это имущество. По требованию заинтересованного лица(в данном случае сына) суд отстраняет от наследования по закону граждан, злостно уклонявшихся от выполнения лежавших на них в силу закона обязанностей по содержанию наследодателя. Однако в даннном случае не было зарегистрированного брака и не было заключено договора ренты, то есть обязанности у сожительницы осуществлять уход за наследодателем в силу закона не было. Лицо, не имеющее права наследовать или отстраненное от наследования на основании настоящей статьи (недостойный наследник), обязано возвратить в соответствии с правилами главы 60 ГК РФ все имущество, неосновательно полученное им из состава наследства. Таким образом можно попробовать доказать, что своими действиями сожительница способствовала получению наследства, но шансов очень мало, т.к при нотариальной форме завещания трудно утверждать, что наследодателя принудили к его подписанию. Права на обязательную долю в наследстве сын не имеет(ст.1149 НК РФ). Если есть основания полагать, что в момент удостоверения завещания отец по состоянию здоровья не отдавал отчёт своим действиям и не мог руководить ими по состоянию здоровья, то можно требовать через суд признания завещания недействительным. Суд назначает по медицинским документам посмертную судебно - психиатрическую экспертизу, которую оплачивает истец.Если названная квартира ранее была собственностью матери сына-жены наследодателя, умершей ранее, получена мужем по наследству, либо относится к нажитому в браке имуществу(то есть на 1/2 квартиры имела право умершая мать),а сын не подавал заявления о принятии наследства после смерти матери, но не отказывался от наследования после смерти матери, однако в 6-ти месячный срок после её смерти приезжал и получил от отца какие-либо вещи, принадлежавшие матери, то он может оспаривать завещание частично и одновременно устанавливать факт принятия им фактически наследства после смерти матери(ст.1153 ГК РФ), что позволит получить ту долю, которую он имел при наследовании по закону после смерти матери(ст.1142 ГК РФ). Если же квартира была приватизирована отцом (до или после смерти его жены, но без её участия), то в состав наследства после смерти матери она не входит.