Какие права на наследство имеет иностранный гражданин, умерший на территории России?

Ну если совсем формально, то вы должны вступить в наследство.

Хотя обычно вещи спокойно отдают.

А по какой причине отказывают?

Вам надо открыть наследственное дело обратившись к любому нотариусу Санкт-Петербурга. Для этого надо сделать оценку ценных вещей в экспертной организации. Просите сделать оценку по Вашему описанию вещей. Вместе с заявлением о принятии наследства и открытии наследственного дела, подайте нотариусу заявление о принятии мер об охране наследственного имущества и описи ценностей находящихся на хранении в больнице.

Это если у умершей не осталось недвижимости на территории России.

Ваше гражданство значения не имеет при открытии наследства.

ГК РФ Статья 1115. Место открытия наследства

Если последнее место жительства наследодателя, обладавшего имуществом на территории Российской Федерации, неизвестно или находится за ее пределами, местом открытия наследства в Российской Федерации признается место нахождения такого наследственного имущества. Если такое наследственное имущество находится в разных местах, местом открытия наследства является место нахождения входящих в его состав недвижимого имущества или наиболее ценной части недвижимого имущества, а при отсутствии недвижимого имущества - место нахождения движимого имущества или его наиболее ценной части. Ценность имущества определяется исходя из его рыночной стоимости.