Могу ли я выехать из России с поврежденным заграничным паспортом?

С поврежденным паспортом - не сможете, т.к. документ утратил силу. Вам необходимо обращаться в посольство Республики Узбекистан в РФ. Либо с заявлением о выдаче заграничного паспорта, либо для получения Сертификата на возвращение в Республику Узбекистан. Сертификат на возвращение в Республику Узбекистан выдается дипломатическими представительствами и консульскими учреждениями Республики Узбекистан за рубежом гражданам Республики Узбекистан и постоянно проживающим в Узбекистане лицам без гражданства в случаях утери, порчи, истечения срока действия, израсходования страниц паспорта гражданина Республики Узбекистан, а также в случае, если лицо ранее не было документировано паспортом. Для получения сертификата заявитель заполняет на веб-сайте загранучреждения анкету-заявление о подтверждении личности и прикрепляет к ней электронную фотографию. Анкета - заявление о подтверждении личности и выдаче сертификата может быть заполнена на интерактивном сайте МИД http://consulate.mfa.uz/. http://uzembassy.ru/page/919 Возможность выезда на основании вышеназванного Сертификата предусмотрена Постановлением Правительства РФ от 7 декабря 2000 г. N 936 "О подписании Соглашения между Правительством Российской Федерации и Правительством Республики Узбекистан о взаимных поездках граждан Российской Федерации и граждан Республики Узбекистан".