Обязан ли жилец оплачивать замену потекшей батареи в квартире?

Да, поскольку Вы несете бремя содержания принадлежащей Вам квартиры (ст. 210 ГК РФ).

Должны.

сталкивался с такой проблемой.

Если до батареи у вас установлены запорные краны (перекрывают подачу воды в батарею) + байпас (вода идет по нему дальше на другие квартиры, если вы закрыли краны) - то меняете батарею за свой счет и установка платная тогда. Здесь действует закон жкх, что их имущество, которое они обязаны бесплатно чинить, заканчивается до кранов.

если есть краны, но нет байпаса - это плохо, можно влететь, но по вашему вопросу см. выше.

если же нет никаких кранов (т.е. трубы идут без всяких кранов в батарею), то управляющая компания (жэк) должны всё сделать бесплатно.

Пишите заявление им, чтобы было всё официально (один экземпляр им, один вам с их отметкой о принятии) они обязаны ответить так же письменно. Там посмотрите, на что будут ссылаться. и там уже будут понятны дальнейшие действия.

(у меня всё получилось - поменяли, хотя орали громко что ничего мне не должны, у меня вариант без кранов)

Нет конечно. В вашем случае следует обратиться с жалобой (ст. 2 Федерального закона от 02.05.2006 N 59-ФЗ "О порядке рассмотрения обращений граждан") в надзорный орган - ГЖИ. В жалобе подробно указать все обстоятельства известные вам по данному вопросу, а также ссылки на нормы права, которые обосновывают вашу правовую позицию. В случае, если ответ вас не удовлетворит, он не будет законным и обоснованным, проблема не будет решена, следует обратиться с заявлением на бездействие ГЖИ в Прокуратуру (ст. 10 Федеральный закон от 17.01.1992 N 2202-1 (ред. от 24.07.2023) "О прокуратуре Российской Федерации"). Если вопрос опять не будет решен - в суд, в порядке ст 131, 132 ГПК.