Здравствуйте, может ли опека сами прописать ребёнка в квартиру?

Нет у опеки таких полномочий.

зарегистрировать в квартиру имеет полномочия только собственник жилого помещения или родитель, который там зарегистрирован

Органы опеки и попечительства не имеют права самостоятельно принимать решения о прописке ребенка в квартиру

от 25 июня 1993 года N 5242-1 "О регистрации по месту жительства граждан Российской Федерации" и постановлением Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 "Об установлении правил регистрации граждан по месту жительства в Российской Федерации".

Права органов опеки:

Органы опеки не имеют права автоматически прописывать детей. Однако они могут участвовать в процессе, если речь идет о детях, которые находятся под опекой или попечительством. В таких случаях орган опеки может дать согласие на прописку ребенка по адресу, где проживает принимающая семья или опекун.

Согласие владельца жилья:

Прописка ребенка в квартиру возможна только с согласия собственника жилья. Без этого согласия (или без предоставления документов, удостоверяющих право собственности) орган опеки не сможет осуществить прописку.

Процедура:

Для прописки ребенка потребуется подача заявления о регистрации по месту жительства, куда будут включены документы, подтверждающие право на жилое помещение (например, свидетельство о праве собственности, договор аренды и т.д.), а также документы, подтверждающие связь между ребенком и опекуном (например, документы об установлении опеки).