Прошу Вашего совета, что в этом случае лучше оформлять: трудовой договор или трудовое соглашение?

Иногда - ничем не отличается. Трудовое соглашение - обычно называют так либо упрощенный вариант трудового договора, либо гражданско-правовой договор на выполнение определенного объема работ. Надо просто смотреть, что написано в условиях этого соглашения.

Регистрироваться не нужно, гражданин имеет право работать на нескольких работах, заключать несколько гражданско-правовых договоров. Налог на доходы в этих случаях удерживается налоговым агентом (работодателем).

Существует две категории договоров – трудовые (в том числе и тр. соглашения) и гражданско-правовые. Отношения, возникающие при заключении тр. договора регулируется трудовым законодательством, в том числе и трудовым кодексом, при этом работник является более защищенной стороной договора.

Отношения, возникающие при заключении гражданско-правового договора, регулируется гражданским законодательством, в основе которого лежит гражданский кодекс. В этой ситуации нет работников и работодателей, обе стороны равны.

В Вашей ситуации возможно два варианта – работа по тр. договору (совместительство) или по ГП договору. Работа по тр. договору более предпочтительна, т.к. работник является более защищен в социальном плане.

Необходимость регистрации в качестве индивидуального предпринимателя возникает в том случае, если Вы собираетесь заниматься данной деятельностью систематически, иначе правоохранительные органы могут классифицировать Вашу деятельность как незаконное предпринимательство.