Может ли меня забрать в армию, не дав мне доучиться, если мне исполнится 20 лет до отсрочки?

Вы не указали, где обучаетесь, поэтому конкретно ответить невозможно, но во всяком случае согласно ст. 24 ФЗ О воинской обязанности и военной службе:

2. Право на отсрочку от призыва на военную службу имеют граждане:

Граждане, которым была предоставлена отсрочка от призыва на военную службу в соответствии с подпунктом "а" пункта 2 статьи 24 до дня вступления в силу Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ, пользуются указанной отсрочкой до истечения срока ее действия или до прекращения основания ее предоставления (статья 163 указанного Закона).

   а) обучающиеся по очной форме обучения в:

организациях, осуществляющих образовательную деятельность по имеющим государственную аккредитацию образовательным программам среднего общего образования, - в период освоения указанных образовательных программ, но не свыше сроков получения среднего общего образования, установленных федеральными государственными образовательными стандартами;

образовательных организациях по имеющим государственную аккредитацию образовательным программам среднего профессионального образования, если они до поступления в указанные образовательные организации не получили среднее образование, - в период освоения указанных образовательных программ, но не свыше сроков получения среднего профессионального образования, установленных федеральными государственными образовательными стандартами, и до достижения указанными обучающимися возраста 20 лет;

образовательных организациях по имеющим государственную аккредитацию образовательным программам среднего профессионального образования, если они до поступления в указанные образовательные организации получили среднее общее образование и достигают призывного возраста в последний год обучения, - в период освоения указанных образовательных программ, но не свыше сроков получения среднего профессионального образования, установленных федеральными государственными образовательными стандартами;