Если я его не подпишу то имеют ли они право перевести меня на новую должность без моего согласия?

Перевод на другую постоянную работу в той же организации по инициативе работодателя, то есть изменение трудовой функции, допускается только с письменного согласия работника.

Согласно Статья 72 Трудового Кодекса РФ

Перевод на другую постоянную работу в той же организации по инициативе работодателя, то есть изменение трудовой функции или изменение существенных условий трудового договора, а равно перевод на постоянную работу в другую организацию либо в другую местность вместе с организацией допускается только с письменного согласия работника.

Не является переводом на другую постоянную работу и не требует согласия работника перемещение его в той же организации на другое рабочее место, в другое структурное подразделение этой организации в той же местности, поручение работы на другом механизме или агрегате, если это не влечет за собой изменения трудовой функции и изменения существенных условий трудового договора.

В данном случае важны должностные полномочия (трудовые функции), выполняемые старшим инженером и старшим техником. Если трудовые функции одинаковы (просто меняется наименование должности), то работодатель имеет право без согласия работника перевести его на другую должность. Если же должностные полномочия различаются по существу, то работодатель не имеет права перевести работника на другую должность без его согласия.