Увольнение сотрудника на испытательном сроке - влияние семейного положения и отпуска на решение

Да, могут уволить

Могут.

Перечисленные вами обстоятельства могут учитываться только при увольнении по сокращению штата при условии заключения бессрочного трудового договора.

То есть даже при заключении БТД нет гарантий в оставлении на работе.

ТК РФ,

Статья 179. Преимущественное право на оставление на работе при сокращении численности или штата работников

При сокращении численности или штата работников преимущественное право на оставление на работе предоставляется работникам с более высокой производительностью труда и квалификацией.

При равной производительности труда и квалификации предпочтение в оставлении на работе отдается: семейным - при наличии двух или более иждивенцев (нетрудоспособных членов семьи, находящихся на полном содержании работника или получающих от него помощь, которая является для них постоянным и основным источником средств к существованию); лицам, в семье которых нет других работников с самостоятельным заработком; работникам, получившим в период работы у данного работодателя трудовое увечье или профессиональное заболевание; инвалидам Великой Отечественной войны и инвалидам боевых действий по защите Отечества; работникам, повышающим свою квалификацию по направлению работодателя без отрыва от работы.

Могут, но Вы вправе оспорить увольнение в суде. Срок 1 месяц.