Имеют ли они право удержать всю сумму сразу и вообще что-то удержать, ведь ошибка произошла по их вине?

Уважаемая Ксения! При описанных Вами обстоятельствах в отношении Вас нарушены нормы действующего законодательства. При отсутствии признаков недобросовестности с Вашей стороны и при отсутствии счетной ошибки излишне выплаченная заработная плата возврату не подлежит ( ст.1109 Гражданского кодекса РФ).

Рекомендую для защиты Ваших прав обратиться в государственную инспекцию труда, которая вправе выдать обязательное для работодателя предписание о восстановлении нарушенных прав работника. Вы также вправе предъявить мировому судье иск о взыскании незаконно удержанной заработной платы.

Гражданский кодекс РФ

Статья 1109. Неосновательное обогащение, не подлежащее возврату

Не подлежат возврату в качестве неосновательного обогащения:

1) имущество, переданное во исполнение обязательства до наступления срока исполнения, если обязательством не предусмотрено иное;

2) имущество, переданное во исполнение обязательства по истечении срока исковой давности;

3) заработная плата и приравненные к ней платежи, пенсии, пособия, стипендии, возмещение вреда, причиненного жизни или здоровью, алименты и иные денежные суммы, предоставленные гражданину в качестве средства к существованию, при отсутствии недобросовестности с его стороны и счетной ошибки;

4) денежные суммы и иное имущество, предоставленные во исполнение несуществующего обязательства, если приобретатель докажет, что лицо, требующее возврата имущества, знало об отсутствии обязательства либо предоставило имущество в целях благотворительности.

Трудовой кодекс РФ

Статья 137. Ограничение удержаний из заработной платы

Удержания из заработной платы работника производятся только в случаях, предусмотренных настоящим Кодексом и иными федеральными законами.

Удержания из заработной платы работника для погашения его задолженности работодателю могут производиться:

для возмещения неотработанного аванса, выданного работнику в счет заработной платы;

для погашения неизрасходованного и своевременно не возвращенного аванса, выданного в связи со служебной командировкой или переводом на другую работу в другую местность, а также в других случаях;

для возврата сумм, излишне выплаченных работнику вследствие счетных ошибок, а также сумм, излишне выплаченных работнику, в случае признания органом по рассмотрению индивидуальных трудовых споров вины работника в невыполнении норм труда (часть третья статьи 155) или простое (часть третья статьи 157);

при увольнении работника до окончания того рабочего года, в счет которого он уже получил ежегодный оплачиваемый отпуск, за неотработанные дни отпуска. Удержания за эти дни не производятся, если работник увольняется по основаниям, указанным в пунктах 1, 2, подпункте "а" пункта 3 и пункте 4 статьи 81, пунктах 1, 2, 5, 6 и 7 статьи 83 настоящего Кодекса.

В случаях, предусмотренных абзацами вторым, третьим и четвертым части второй настоящей статьи, работодатель вправе принять решение об удержании из заработной платы работника не позднее одного месяца со дня окончания срока, установленного для возвращения аванса, погашения задолженности или неправильно исчисленных выплат, и при условии, если работник не оспаривает оснований и размеров удержания.

Заработная плата, излишне выплаченная работнику (в том числе при неправильном применении законов или иных нормативных правовых актов), не может быть с него взыскана, за исключением случаев:

счетной ошибки;

если органом по рассмотрению индивидуальных трудовых споров признана вина работника в невыполнении норм труда (часть третья статьи 155) или простое (часть третья статьи 157);

если заработная плата была излишне выплачена работнику в связи с его неправомерными действиями, установленными судом.