Как уволиться с работы в медицинском учреждении для ухода за ребенком без отработки двух недель?

Увольняйтесь тогда не по собственному желанию, а по соглашению сторон. Либо договаривайтесь с работодателем. Даже без приказа, вы уже считаетесь фактически состоящей в трудовых отношениях с организацией.

Положениями статьи 68 Трудового кодекса Российской Федерации установлено, что прием на работу оформляется приказом (распоряжением) работодателя, изданным на основании заключенного трудового договора. Содержание приказа (распоряжения) работодателя должно соответствовать условиям заключенного трудового договора.

Приказ (распоряжение) работодателя о приеме на работу объявляется работнику под роспись в трехдневный срок со дня фактического начала работы. По требованию работника работодатель обязан выдать ему надлежаще заверенную копию указанного приказа (распоряжения).

При приеме на работу (до подписания трудового договора) работодатель обязан ознакомить работника под роспись с правилами внутреннего трудового распорядка, иными локальными нормативными актами, непосредственно связанными с трудовой деятельностью работника, коллективным договором.

На сколько я понял из представленной Вами информации трудовой договор Вы так же не подписывали? Если это так, то в силу статьи 67 ТК РФ в случае если Вы приступили к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя, то трудовой договор с Вами считается заключенным.

В любом случае без приказа трудовые отношения считаются не оформленными. На мой взгляд Вам стоит переговорить с работодателем и решить эту проблему, заставить работать вас всеравно никто не сможет.