Может ли внук въехать в 3-х комнатную квартиру, если ему принадлежит 1/4 часть от нее.

Конечно может.

ЖК РФ

Статья 30. Права и обязанности собственника жилого помещения

1. Собственник жилого помещения осуществляет права владения, пользования и распоряжения принадлежащим ему на праве собственности жилым помещением в соответствии с его назначением и пределами его использования, которые установлены настоящим Кодексом.

2. Собственник жилого помещения вправе предоставить во владение и (или) в пользование принадлежащее ему на праве собственности жилое помещение гражданину на основании договора найма, договора безвозмездного пользования или на ином законном основании, а также юридическому лицу на основании договора аренды или на ином законном основании с учетом требований, установленных гражданским законодательством, настоящим Кодексом.

Уважаемый Михаил, внук как собственник имеет все правомочия собственника - владение, пользование, распоряжение.

Ваш внук как собственник может зарегистрироваться в квартире, не имеет значение какова его доля, может также проживать в ней.

Если ему оказывают препятствия другие сособственника, можно обратиться в суд с исковыми требованиями о вселении, нечинении препятствий в пользовании жилым помещением.

Может. Если он является собственником, вправе и проживать в квартире, и распоряжаться своей долей.