Может ли начальник отказать в подписании заявления на отпуск после болезни в частной фирме?

Имеет. И это не зависит от организационно-правовой формы организации. Просто потому, что в отпуск уходят по графику (а не по заявлению). И это обязанность работодателя - предупреждать о наступлении отпуска. А предоставление отпуска с последующим увольнением работника - все-таки право, а не обязанность работодателя.

ТК РФ.

"Статья 123. Очередность предоставления ежегодных оплачиваемых отпусков

Очередность предоставления оплачиваемых отпусков определяется ежегодно в соответствии с графиком отпусков, утверждаемым работодателем с учетом мнения выборного профсоюзного органа данной организации не позднее чем за две недели до наступления календарного года.

График отпусков обязателен как для работодателя, так и для работника. О времени начала отпуска работник должен быть извещен не позднее чем за две недели до его начала.

Статья 127. Реализация права на отпуск при увольнении работника

При увольнении работнику выплачивается денежная компенсация за все неиспользованные отпуска.

По письменному заявлению работника неиспользованные отпуска могут быть предоставлены ему с последующим увольнением (за исключением случаев увольнения за виновные действия). При этом днем увольнения считается последний день отпуска.

При увольнении в связи с истечением срока трудового договора отпуск с последующим увольнением может предоставляться и тогда, когда время отпуска полностью или частично выходит за пределы срока этого договора. В этом случае днем увольнения также считается последний день отпуска.

При предоставлении отпуска с последующим увольнением при расторжении трудового договора по инициативе работника этот работник имеет право отозвать свое заявление об увольнении до дня начала отпуска, если на его место не приглашен в порядке перевода другой работник".