Должен ли работник отработать две недели перед переездом и подписанием контракта в другом городе?

Вы обязаны отработать 2 недели (меньше только на усмотрение работодателя)

В Трудовом кодексе РФ нет условия об обязательной двухнедельной отработке. Следовательно, работник может написать заявление об увольнении и весь срок предупреждения находиться в отпуске или болеть. Данный срок в этом случае не продлевается (письмо Роструда от 05.09.2006 N 1551-6).

В отдельных случаях работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника, например (ч. 3 ст. 80 ТК РФ):

- в связи с зачислением работника в учебное заведение;

- в связи с выходом на пенсию;

- при установлении нарушений трудового права со стороны работодателя (например, задержка заработной платы, отказ в предоставлении отпуска). При этом данные нарушения должны быть официально зафиксированы инспекцией по труду, профсоюзом, комиссией по трудовым спорам или судом (пп. "б" п. 22 Постановления Пленума ВС РФ от 17.03.2004 N 2).

Увольнение до истечения двухнедельного срока возможно также по соглашению между работником и работодателем, которое может оформляться заявлением работника и последующей резолюцией работодателя (ч. 2 ст. 80 ТК РФ). При достижении соглашения о расторжении трудового договора до окончания срока предупреждения работник может также переписать заявление, указав новую дату.