Как отец может претендовать на долю в квартире и право проживания после развода с матерью при наличии инвалидности и алкогольной зависимости?

Нет не может. Он никаких прав на квартиру не имеет. наследственное имущество на делится между супругами, это не совместно нажитое. Думаю суд не на его стороне будет если он подаст на алименты.

Статья 87 СК РФ. Обязанности совершеннолетних детей по содержанию родителей

1. Трудоспособные совершеннолетние дети обязаны содержать своих нетрудоспособных нуждающихся в помощи родителей и заботиться о них.

2. При отсутствии соглашения об уплате алиментов алименты на нетрудоспособных нуждающихся в помощи родителей взыскиваются с трудоспособных совершеннолетних детей в судебном порядке.

3. Размер алиментов, взыскиваемых с каждого из детей, определяется судом исходя из материального и семейного положения родителей и детей и других заслуживающих внимания интересов сторон в твердой денежной сумме, подлежащей уплате ежемесячно.

4. При определении размера алиментов суд вправе учесть всех трудоспособных совершеннолетних детей данного родителя независимо от того, предъявлено требование ко всем детям, к одному из них или к нескольким из них.

5. Дети могут быть освобождены от обязанности по содержанию своих нетрудоспособных нуждающихся в помощи родителей, если судом будет установлено, что родители уклонялись от выполнения обязанностей родителей.