Могу ли я претендовать на хоть какую-то часть от этой квартиры, после смерти папы?

Если квартира приватизирована на них двоих - Ваш отец скорее всего является собственником не всей квартиры, а только своей половины, а другая половина - собственность его супруги. В этом случае при отсутствии завещания половина отца будет делить в равных долях между Вами и мачехой, то есть Вы получите 1/4 от квартиры, а мачеха станет собственником 3/4 квартиры.

С уважением

Если квартира была приватизирована отцом и мачехой в равных долях и отец не оставит завещания, то его долю наследуют в равных долях жена, дети и родители наследодателя(если они его переживут)-ст.1142 ГК РФ, а также его иждивенцы(ст.1148 ГК РФ). Если отец распорядится своей долей при жизни (продаст, подарит, заключит договор ренты), то в состав наследства его доля квартиры не войдёт. Если отец оставит завещание на свою долю квартиры(или всю квартиру, если он один собственник) и при этом Вас не упомянет в завещании, то Вы сможете частично оспорить завещание только при наличии права на обязательную долю в наследстве ст.1149 ГК РФ), то есть если к моменту смерти отца Вы достигнете пенсионного возраста(55 лет женщина и 60 лет мужчина) или будете иметь инвалидность любой степени. При этом Вы получите половину той доли, которую имели бы при наследовании по закону, если завещание удостоверено 1 марта 2002г. или позднее. Если у Вас будут основания полагать, что в момент удостоверения завещания отец не отдавал отчёт своим действиям и не мог ими руководить по состоянию здоровья(есть медицинские документы), то Вы сможете оспаривать завещание целиком и при этом суд по Вашей просьбе назначит посмертную судебно-психиатрическую экспертизу по медицинским документам.