Работодатель отказался выдать обувь, не согласуется ли это с трудовым кодексом?

Нет, не прав, наберите в интернете "правила обеспечения СИЗ и спцодеждой. Там все прочитаете

Уважаемый Роман Сергеевич!

Работодатель обязан обеспечить работников сезонной одеждой, в том числе соответствующей сезонной обувью

Работодатель обязан обеспечить в том числе и приобретение и выдачу за счет собственных средств специальной одежды, специальной обуви и других средств индивидуальной защиты, смывающих и обезвреживающих средств, прошедших обязательную сертификацию или декларирование соответствия в установленном законодательством Российской Федерации о техническом регулировании порядке, в соответствии с установленными "нормами" работникам, занятым на работах с вредными и (или) опасными условиями труда, а также на работах, выполняемых в особых температурных условиях или связанных с загрязнением (ст.212 ТК).

Согласно Приказу Минздравсоцразвития РФ от 01.10.2008 N 541н "Об утверждении Типовых норм бесплатной выдачи сертифицированных специальной одежды, специальной обуви и других средств индивидуальной защиты работникам сквозных профессий и должностей всех отраслей экономики, занятым на работах с вредными и (или) опасными условиями труда, а также на работах, выполняемых в особых температурных условиях или связанных с загрязнением" дворнику полагаются:

Костюм хлопчатобумажный для защиты от общих производственных загрязнений и механических воздействий или костюм из смешанных тканей для защиты от общих производственных загрязнений и механических воздействий - 1;

Фартук хлопчатобумажный с нагрудником - 1;

Рукавицы комбинированные или перчатки с полимерным покрытием- 6 пар;

Плащ непромокаемый - 1 на 3 года;

Зимой дополнительно:

Куртка на утепляющей прокладке - по поясам* (1 на 3 года);

Валенки или сапоги кожаные утепленные - по поясам* (1 на 4 года);

Галоши на валенки - 1 пара на 2 года.

За нарушение работодателем правил обеспечения работников СИЗ его могут привлечь к административной ответственности по ч. 1 ст. 5.27 КоАП РФ.

* Сроки носки теплой специальной одежды и теплой специальной обуви устанавливаются в годах в зависимости от климатических поясов. Белгородская область относится к 1 климатическому поясу.