Скажите, в случае смерти истца должен ли суд уведомлять (искать)

Законом не установлена обязанность суда "искать" правопреемников. Естественно, что после смерти физического лица его наследники должны принять наследство в течение 6 месяцев. С момента принятия наследства, наследник имеет право владеть и пользоваться наследственным имуществом. С этого момента наследник становится правопреемником, но только по тем делам по которым предусмотрено правопреемство.

В соответствии со ст.220 ГПК РФ суд прекращает производство по делу, если после смерти гражданина, являвшегося одной из сторон по делу, спорное правоотношение не допускает правопреемство или произошла ликвидация организации, являвшейся одной из сторон по делу. Согласно ст.215 ГПК РФ суд обязан приостановить производство по делу в случае:

смерти гражданина, если спорное правоотношение допускает правопреемство, или реорганизации юридического лица, которые являются сторонами в деле или третьими лицами с самостоятельными требованиями. Ст.44 ГПК РФ предусматривает в случаях выбытия одной из сторон в спорном или установленном решением суда правоотношении (смерть гражданина, реорганизация юридического лица, уступка требования, перевод долга и другие случаи перемены лиц в обязательствах) суд допускает замену этой стороны ее правопреемником. Правопреемство возможно на любой стадии гражданского судопроизводства.

Все действия, совершенные до вступления правопреемника в процесс, обязательны для него в той мере, в какой они были бы обязательны для лица, которое правопреемник заменил.

На определение суда о замене или об отказе в замене правопреемника может быть подана частная жалоба.

От процессуального правопреемства следует также отличать те обстоятельства, когда после смерти лица возможно путем возбуждения нового гражданского дела в суде достижение для заинтересованных лиц необходимого правового результата. Например, в случае смерти ответчика по иску об установлении отцовства процесс прекращается. Однако мать ребенка вправе в порядке особого производства подать заявление об установлении факта отцовства, при удовлетворении которого будет достигнут искомый правовой результат. После смерти истца по иску о защите чести и достоинства в соответствии со ст. 152 ГК РФ по требованию заинтересованных лиц допускается защита чести и достоинства гражданина и после его смерти. Во всех приведенных примерах процессуального правопреемства нет, однако имеются иные юридические возможности достижения необходимого правового результата в судебном порядке. Следует отметить, что процессуальное правопреемство возможно не по всем делам, а только по спорам имущественного характера. Безусловно, что правопреемник должен доказать суду, что он правопреемник и спорное отношение допускает правопреемство.