Может ли работодатель взыскать судебные затраты и компенсацию у сотрудника, ответственного за кадровое делопроизводство, при неправильном оформлении увольнения?

Только по решению суда, но это маловероятно.

Статья 237 Трудового кодекса Российской Федерации. Возмещение морального вреда, причиненного работнику Моральный вред, причиненный работнику неправомерными действиями или бездействием работодателя, возмещается работнику в денежной форме в размерах, определяемых соглашением сторон трудового договора. В случае возникновения спора факт причинения работнику морального вреда и размеры его возмещения определяются судом независимо от подлежащего возмещению имущественного ущерба. Статья 391 Трудового кодекса Российской Федерации. Рассмотрение индивидуальных трудовых споров в судах В судах рассматриваются индивидуальные трудовые споры по заявлениям работника, работодателя или профессионального союза, защищающего интересы работника, когда они не согласны с решением комиссии по трудовым спорам либо когда работник обращается в суд, минуя комиссию по трудовым спорам, а также по заявлению прокурора, если решение комиссии по трудовым спорам не соответствует трудовому законодательству и иным актам, содержащим нормы трудового права. Непосредственно в судах рассматриваются индивидуальные трудовые споры по заявлениям: работника - о восстановлении на работе независимо от оснований прекращения трудового договора, об изменении даты и формулировки причины увольнения, о переводе на другую работу, об оплате за время вынужденного прогула либо о выплате разницы в заработной плате за время выполнения нижеоплачиваемой работы, о неправомерных действиях (бездействии) работодателя при обработке и защите персональных данных работника; работодателя - о возмещении работником ущерба, причиненного работодателю, если иное не предусмотрено федеральными законами. Непосредственно в судах рассматриваются также индивидуальные трудовые споры: об отказе в приеме на работу; лиц, работающих по трудовому договору у работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями, и работников религиозных организаций; лиц, считающих, что они подверглись дискриминации. Статья 392 Трудового кодекса Российской Федерации. Сроки обращения в суд за разрешением индивидуального трудового спора Работник имеет право обратиться в суд за разрешением индивидуального трудового спора в течение трех месяцев со дня, когда он узнал или должен был узнать о нарушении своего права, а по спорам об увольнении - в течение одного месяца со дня вручения ему копии приказа об увольнении либо со дня выдачи трудовой книжки. Работодатель имеет право обратиться в суд по спорам о возмещении работником ущерба, причиненного работодателю, в течение одного года со дня обнаружения причиненного ущерба. При пропуске по уважительным причинам сроков, установленных частями первой и второй настоящей статьи, они могут быть восстановлены судом.

Статья 393 Трудового кодекса Российской Федерации. Освобождение работников от судебных расходов При обращении в суд с иском по требованиям, вытекающим из трудовых отношений, в том числе по поводу невыполнения либо ненадлежащего выполнения условий трудового договора, носящих гражданско-правовой характер, работники освобождаются от оплаты пошлин и судебных расходов.

Нет. Судебные расходы будет возмещать работодатель. В отношении сотрудника, неправильно оформившего документы, может быть проведена служебная проверка, в результате которой он может быть привлечен к дисциплинарной ответственности.

Скажите если трудовая инспекция проведет проверку и наложит штрафы на организацию, сотрудник осуществляющий КДП не будет подвёрнут уплате штрафов?