Как подать встречный иск в арбитражный суд о взыскании услуг на адвоката?

Это отдельное заявление. В рамках ранее рассмотренного дела.

Для этого нужно подавать отдельный иск

Статья 112. АПК РФ Разрешение вопросов о судебных расходах

(в ред. Федерального закона от 27.07.2010 N 228-ФЗ)

1. Вопросы распределения судебных расходов, отнесения судебных расходов на лицо, злоупотребляющее своими процессуальными правами, и другие вопросы о судебных расходах разрешаются арбитражным судом соответствующей судебной инстанции в судебном акте, которым заканчивается рассмотрение дела по существу, или в определении.

2. Заявление по вопросу о судебных расходах, понесенных в связи с рассмотрением дела в арбитражном суде первой, апелляционной, кассационной инстанций, рассмотрением дела в порядке надзора, не разрешенному при рассмотрении дела в соответствующем суде, может быть подано в арбитражный суд, рассматривавший дело в качестве суда первой инстанции, в течение шести месяцев со дня вступления в законную силу последнего судебного акта, принятием которого закончилось рассмотрение дела по существу.

Пропущенный по уважительной причине срок подачи такого заявления может быть восстановлен судом.

Заявление по вопросу о судебных расходах рассматривается по правилам, предусмотренным статьей 159 настоящего Кодекса для рассмотрения ходатайства.

По результатам рассмотрения такого заявления выносится определение, которое может быть обжаловано.

При чём тут вообще "встречный иск"?

Для получения судебных расходов надо , чтобы приняли решение в Вашу пользу по какому-то иску...