Существует ли сейчас простая письменная форма завещания?

Нет, не существует. Только нотариальная.

Только в опредленных случаях.

ГК РФ

Статья 1129. Завещание в чрезвычайных обстоятельствах

1. Гражданин, который находится в положении, явно угрожающем его жизни, и в силу сложившихся чрезвычайных обстоятельств лишен возможности совершить завещание в соответствии с правилами статей 1124 - 1128 настоящего Кодекса, может изложить последнюю волю в отношении своего имущества в простой письменной форме.

Изложение гражданином последней воли в простой письменной форме признается его завещанием, если завещатель в присутствии двух свидетелей собственноручно написал и подписал документ, из содержания которого следует, что он представляет собой завещание.

2. Завещание, совершенное в обстоятельствах, указанных в абзаце первом пункта 1 настоящей статьи, утрачивает силу, если завещатель в течение месяца после прекращения этих обстоятельств не воспользуется возможностью совершить завещание в какой-либо иной форме, предусмотренной статьями 1124 - 1128 настоящего Кодекса.

3. Завещание, совершенное в чрезвычайных обстоятельствах в соответствии с настоящей статьей, подлежит исполнению только при условии подтверждения судом по требованию заинтересованных лиц факта совершения завещания в чрезвычайных обстоятельствах. Указанное требование должно быть заявлено до истечения срока, установленного для принятия наследства.