Работал по срочному договору, который заключали с ним сроком на один год (за три года у него заключено три срочных договора).

Конечно работодатель обязан внести соответствующие записи в трудовую книжку, т.к. место работы является основным и работник проработал у них более пяти дней, ст. 66 ТК РФ -

Трудовая книжка установленного образца является основным документом о трудовой деятельности и трудовом стаже работника.

Форма, порядок ведения и хранения трудовых книжек, а также порядок изготовления бланков трудовых книжек и обеспечения ими работодателей устанавливаются Правительством Российской Федерации.

Работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной.

В трудовую книжку вносятся сведения о работнике, выполняемой им работе, переводах на другую постоянную работу и об увольнении работника, а также основания прекращения трудового договора и сведения о награждениях за успехи в работе. Сведения о взысканиях в трудовую книжку не вносятся, за исключением случаев, когда дисциплинарным взысканием является увольнение.

По желанию работника сведения о работе по совместительству вносятся в трудовую книжку по месту основной работы на основании документа, подтверждающего работу по совместительству.

Это в том случае если с работником заключались действительно ТРДОВЫЕ договоры, а не договоры гражданско-правового характера, например поряда или возмездного оказания услуг.

Если это были не трудовые договоры, то обязать внести записи в трудовую книжку Вы можете только через суд, путем признания данных довогоров трудовыми, если на это есть основания.