Какова вероятность лишения БМ родительских прав в данной ситуации?

Скажите, пожалуйста, какова вероятность лишить БМ родительских прав. Ситуация: разъехались мы за месяц до родов, пару раз приехал-посмотрел и уехал, последний раз видел сына, когда мелкому было 2 месяца (на данный момент сыну почти 6 лет); ребенок прописан со мной в квартире моей мамы; на алименты я подала, его оф зп сократилась сразу в 3.5 раза и алименты назначили 2200, задержек по выплатам нет; звонков-поздравлений-подарков не было никогда; ребенок не видел биопапу; самое главное: есть мужчина, который полностью содержит меня и ребенка (в браке мы не состоим), это для ребенка единственный папа, у них очень теплые отношения, проживаем мы вместе, водим ребенка в сад-поликлинику и на секции. Вопрос лишения возник не случайно. Сын очень болезненно реагирует на то что у нас с ним разные фамилии, хотелось бы до школы изменить фамилию. В органах опеки мне сказали, что смена фамилии не реальна (и попросили их вообще не отвлекать от ВАЖНЫХ дел).

Сейчас я готовлю план))). То есть мне нужно: составить иск в суд, собрать справки из сада, поликлиники и секций (ребенка вожу только я), свидетели есть. Еще сейчас ищу адрес БМ, чтобы отправить ему заказное письмо с описью с просьбой посетить нотариуса и дать разрешение на выезд заграницу. Вопрос возможно ли установить срок для выдачи такого разрешения в течении 3 дней? Уверена, что он не даст, точнее ему будет некогда, к слову у него давно своя семья+ребеночек.