Как передать опеку над ребенком бабушке и остаться его законной матерью?

Чтобы установить опеку над малолетним, необходимое условие ограничение или лишение родительских прав родителей. По всем вопросам обращайтесь в опеку.

Статья 121 СК РФ Защита прав и интересов детей, оставшихся без попечения родителей

1. Защита прав и интересов детей в случаях смерти родителей, лишения их родительских прав, ограничения их в родительских правах, признания родителей недееспособными, болезни родителей, длительного отсутствия родителей, уклонения родителей от воспитания детей или от защиты их прав и интересов, в том числе при отказе родителей взять своих детей из образовательных организаций, медицинских организаций, организаций, оказывающих социальные услуги, или аналогичных организаций, при создании действиями или бездействием родителей условий, представляющих угрозу жизни или здоровью детей либо препятствующих их нормальному воспитанию и развитию, а также в других случаях отсутствия родительского попечения возлагается на органы опеки и попечительства.

Органы опеки и попечительства выявляют детей, оставшихся без попечения родителей, ведут учет таких детей в порядке, установленном уполномоченным Правительством Российской Федерации федеральным органом исполнительной власти, обеспечивают защиту их прав и интересов до решения вопроса об их устройстве и исходя из конкретных обстоятельств утраты попечения родителей избирают формы устройства детей, оставшихся без попечения родителей (статья 123 настоящего Кодекса), а также осуществляют последующий контроль за условиями их содержания, воспитания и образования.

Обращайтесь в опеку. Но при чем здесь родительские права и коммунальные долги, непонятно.