Как выселить квартирантку и решить проблему с долгами при наследовании квартиры

Выселить только в судебном порядке. Иначе никак.

Согласно ст. 674 ГК РФ договор найма жилого помещения заключается в письменной форме.

"договор был устный на доверии" - ст. 162 ГК РФ устанавливает, что несоблюдение простой письменной формы сделки лишает стороны права в случае спора ссылаться в подтверждение сделки и ее условий на свидетельские показания, но не лишает их права приводить письменные и другие доказательства.

Таким образом, если квартиранка не сможет привести письменные и другие доказательства заключения договора, то согласно п. 2 ст. 162 ГК РФ несоблюдение простой письменной формы сделки влечет ее недействительность.

Согласно п. 37.2 Наставления по организации деятельности участковых уполномоченных полиции участковый должен осуществлять в пределах компетенции проверку заявлений и сообщений о преступлениях, об административных правонарушениях, о происшествиях и принимать по таким заявлениям и сообщениям меры, предусмотренные законодательством Российской Федерации.

Квартиранка, скорее всего, нарушила ст. 19.15.1 КоАП РФ "Проживание гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту жительства в жилом помещении без регистрации" (т.е. совершила административное правонарушение).

Для начала, напишите заявление участковому с просьбой проверить законность нахождения постороннего человека в квартире, принадлежавшей Вашей бабушке.

Детально смогу подсказать после изучения ситуации.