Если директор не подписывает заявление на увольнение, по причине того что не нашли мне замену?

Подавацте жалобу в прокуратуру, действия директора не правомерны. Порядок обращения: согласно инструкции Ген. Прокуратуры:

Письменное обращение гражданина, должностного и иного лица должно в обязательном порядке содержать либо наименование органа, в который направляется обращение, либо фамилию, имя, отчество соответствующего должностного лица, либо его должность, а также фамилию, имя, отчество (последнее - при наличии) гражданина, направившего обращение, почтовый адрес, по которому должен быть направлен ответ или уведомление о переадресовании обращения, изложение существа вопроса, личную подпись указанного гражданина и дату.

В случае необходимости в подтверждение своих доводов гражданин прилагает к письменному обращению документы и материалы либо их копии.

В случае, если в письменном обращении не указаны фамилия гражданина, направившего обращение, или адрес, по которому должен быть направлен ответ, ответ на обращение не дается.

Обращения граждан, военнослужащих и членов их семей, должностных и иных лиц разрешаются в течение 30 дней со дня их регистрации в органах прокуратуры Российской Федерации, а не требующие дополнительного изучения и проверки - в течение 15 дней, если иное не предусмотрено федеральным законодательством.

Если установленный срок разрешения обращения истекает в выходной или праздничный день, последним днем разрешения считается следующий за ним рабочий день.