Есть квартира в собственности матери, в ней проживает и прописана дочь с семьей.

1. Здесь выбор за Вами. Если будет завещание - то действительно завещание, написанное последним, то есть, если мама передумает - она сможет его переписать. Наследование по закону - кто гарантирует, что другие наследники откажутся от наследования? Дарение - налога не будет - вы ближайшие родственники.

2. Останется.

Вопрос изложили немного путано, но попытаюсь ответить исходя из того, как я его понял.

1) Договор дарения собственник может заключить в любой удобный и благоприятный для него момент, дарение между близкими родственниками налогом не облагается (супругами, родителями, детьми, дедушками, бабушками, внуками, родными полнородными (или не полнородными имеющих общего отца или мать) братьями и сестрами).

Что касается завещания, то существуют лица имеющие право на обязательную долю в наследственном имуществе (нетрудоспособные супруг, родители, дети или лица находившиеся на иждивении наследодателя не менее года и средства, получаемые от наследодателя являлись единственным источником их существования) и наследуют независимо от содержания завещания не менее половины доли, которая причиталась бы каждому из них при наследовании по закону. Ежели таких лиц нет и Завещатель дееспособное и психически здоровое лицо, то после его смерти Завещание оспорить будет практически невозможно.

Самый оптимальный вариант определяет собственник имущества (Ваша мать).

2) Право на участие в приватизации жилого помещения совершеннолетнему лицу дается один раз, если он ранее не участвовал в приватизации или писал нотариально заверенный отказ от участия в приватизации за ним сохраняется такое право. Таким образом можно сделать вывод о том, что Преемник может участвовать в приватизации жилого помещения.