Могут ли не продлить контракт военнослужащему и по какой причине.

Могут. А причины бывают разные, в том числе и взятые "с потолка", и тогда можно обращаться в суд.

Федеральный закон от 28.03.1998 N 53-ФЗ (ред. от 02.05.2015) "О воинской обязанности и военной службе":

Невозможность заключения контракта о прохождении военной службы - это законодательное установление, ограничивающее доступ граждан на военную службу по контракту, связанное с совершением кандидатом, поступающим на военную службу либо проходящим ее по контракту, деяния, подпадающего под признаки преступления. Законом предусмотрено, что контракт не может быть заключен с гражданами, в отношении которых:

- вынесен обвинительный приговор и которым назначено наказание;

- ведется дознание либо предварительное следствие;

- уголовное дело передано в суд.

Основаниями для отказа кандидату, поступающему на военную службу по контракту, в заключении с ним соответствующего контракта являются:

отсутствие в Вооруженных Силах Российской Федерации, других войсках, воинских формированиях и органах вакантных воинских должностей согласно профилю подготовки кандидата или полученной им военно-учетной специальности;

решение аттестационной комиссии воинской части, утвержденное командиром (начальником) воинской части, о заключении контракта о прохождении военной службы с другим кандидатом по итогам конкурсного отбора;

решение комиссии военного комиссариата, совместной комиссии пункта отбора на военную службу по контракту и военного комиссариата или аттестационной комиссии воинской части о несоответствии кандидата, поступающего на военную службу по контракту, требованиям, установленным настоящим Федеральным законом.

Ссылка:

Статья 34. Заключение контракта о прохождении военной службы:

1. Контракт о прохождении военной службы вправе заключать:

военнослужащие, у которых заканчивается предыдущий контракт о прохождении военной службы;

военнослужащие, проходящие военную службу по призыву и получившие до призыва на военную службу высшее образование, а также военнослужащие, проходящие военную службу по призыву и прослужившие не менее трех месяцев;

(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

граждане, пребывающие в запасе;

граждане мужского пола, не пребывающие в запасе и получившие высшее образование;

(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

граждане женского пола, не пребывающие в запасе;

другие граждане в соответствии с нормативными правовыми актами Президента Российской Федерации.

Граждане, поступившие в военные профессиональные образовательные организации или военные образовательные организации высшего образования, заключают контракт о прохождении военной службы в соответствии с пунктом 2 статьи 35 настоящего Федерального закона.

(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

Контракт о прохождении военной службы также вправе заключать иностранные граждане, законно находящиеся на территории Российской Федерации.

(абзац введен Федеральным законом от 11.11.2003 N 141-ФЗ)

2. Первый контракт о прохождении военной службы вправе заключать:

граждане в возрасте от 18 до 40 лет;

иностранные граждане в возрасте от 18 до 30 лет.

(п. 2 в ред. Федерального закона от 11.11.2003 N 141-ФЗ)

3. Отбор кандидатов для поступления на военную службу по контракту, за исключением кандидатов для поступления на военную службу по контракту в Вооруженные Силы Российской Федерации на воинские должности, подлежащие замещению солдатами, матросами, сержантами, старшинами, прапорщиками и мичманами, из числа граждан, не находящихся на военной службе, и иностранных граждан осуществляется военными комиссариатами.

(в ред. Федерального закона от 20.04.2015 N 104-ФЗ)

Отбор кандидатов для поступления на военную службу по контракту во внутренние войска Министерства внутренних дел Российской Федерации и в органы, указанные в пункте 1 статьи 2 настоящего Федерального закона, из числа граждан, не находящихся на военной службе, осуществляется также указанными войсками и органами в порядке, установленном нормативными правовыми актами Российской Федерации.

Отбор кандидатов из числа граждан, не находящихся на военной службе, для поступления на военную службу по контракту в Вооруженные Силы Российской Федерации на воинские должности, подлежащие замещению солдатами, матросами, сержантами, старшинами, прапорщиками и мичманами, и кандидатов из числа иностранных граждан для поступления на военную службу по контракту в Вооруженные Силы Российской Федерации на воинские должности, подлежащие замещению солдатами, матросами, сержантами и старшинами, осуществляется пунктами отбора на военную службу по контракту совместно с военными комиссариатами в порядке, установленном Положением о порядке прохождения военной службы.

(абзац введен Федеральным законом от 20.04.2015 N 104-ФЗ)

Отбор кандидатов для поступления на военную службу по контракту из числа военнослужащих осуществляется воинскими частями и органами в порядке, установленном Положением о порядке прохождения военной службы, если иное не предусмотрено федеральными законами.

(п. 3 в ред. Федерального закона от 04.03.2013 N 18-ФЗ)

4. Определение соответствия граждан (иностранных граждан), отбираемых на военную службу по контракту военными комиссариатами или пунктами отбора на военную службу по контракту совместно с военными комиссариатами, требованиям, установленным для поступающих на военную службу по контракту, возлагается соответственно на комиссии военных комиссариатов по отбору кандидатов, поступающих на военную службу по контракту, или на создаваемые в порядке, установленном Положением о порядке прохождения военной службы, совместные комиссии пунктов отбора на военную службу по контракту и военных комиссариатов по отбору кандидатов, поступающих на военную службу по контракту (далее - совместные комиссии пунктов отбора на военную службу по контракту и военных комиссариатов).

(в ред. Федерального закона от 20.04.2015 N 104-ФЗ)

В работе комиссий военных комиссариатов по отбору кандидатов, поступающих на военную службу по контракту, могут принимать участие представители воинских частей, для которых проводится отбор.

(в ред. Федерального закона от 04.03.2013 N 18-ФЗ)

В работе совместных комиссий пунктов отбора на военную службу по контракту и военных комиссариатов могут принимать участие представители воинских частей, для которых проводится отбор, и представители воинских частей, военных профессиональных образовательных организаций и военных образовательных организаций высшего образования, привлекаемые к выполнению мероприятий по отбору кандидатов, поступающих на военную службу по контракту.

(абзац введен Федеральным законом от 20.04.2015 N 104-ФЗ)

Определение соответствия граждан, отбираемых внутренними войсками Министерства внутренних дел Российской Федерации и органами, указанными в пункте 1 статьи 2 настоящего Федерального закона, а также военнослужащих требованиям, установленным для поступающих на военную службу по контракту, возлагается на аттестационные комиссии воинских частей и указанных органов.

(в ред. Федерального закона от 04.03.2013 N 18-ФЗ)

Копия решения комиссии должна быть выдана гражданину (иностранному гражданину) по его просьбе в трехдневный срок со дня принятия решения.

(в ред. Федерального закона от 11.11.2003 N 141-ФЗ)

5. Основаниями для отказа кандидату, поступающему на военную службу по контракту, в заключении с ним соответствующего контракта являются:

отсутствие в Вооруженных Силах Российской Федерации, других войсках, воинских формированиях и органах вакантных воинских должностей согласно профилю подготовки кандидата или полученной им военно-учетной специальности;

решение аттестационной комиссии воинской части, утвержденное командиром (начальником) воинской части, о заключении контракта о прохождении военной службы с другим кандидатом по итогам конкурсного отбора;

решение комиссии военного комиссариата, совместной комиссии пункта отбора на военную службу по контракту и военного комиссариата или аттестационной комиссии воинской части о несоответствии кандидата, поступающего на военную службу по контракту, требованиям, установленным настоящим Федеральным законом.

(в ред. Федерального закона от 20.04.2015 N 104-ФЗ)

Контракт о прохождении военной службы не может быть заключен с гражданами, в отношении которых вынесен обвинительный приговор и которым назначено наказание, в отношении которых ведется дознание либо предварительное следствие или уголовное дело в отношении которых передано в суд, гражданами, имеющими неснятую или непогашенную судимость за совершение преступления, отбывавшими наказание в виде лишения свободы. Контракт не может быть заключен с гражданами, лишенными на определенный срок вступившим в законную силу решением суда права занимать воинские должности, в течение указанного срока.

(в ред. Федерального закона от 25.07.2002 N 112-ФЗ)

6. Командир (начальник) воинской части принимает решение о заключении нового контракта о прохождении военной службы или об отказе в его заключении с военнослужащим, проходящим военную службу по контракту, не позднее чем за три месяца до истечения срока действующего контракта.

7. В случае отказа гражданину (иностранному гражданину) в заключении контракта о прохождении военной службы он имеет право обжаловать данное решение в вышестоящий орган, прокуратуру или суд.

(в ред. Федерального закона от 11.11.2003 N 141-ФЗ)