Может ли она выбирать варианты квартиры, чтобы избежать покупки им квартиры на окраине города?

Купить может. Указать в договоре сына в качестве приобретающего прво собствености-может. Регистрация в этой квартире не играет роли. Ни отец, ни мать этого ребенка не смогут распорядиться квартирой без разрешения органа опеки и попечительства. Если суд в решении не указал конкретные параметры квартиры-какую и где купить-это дело обязанного лица (отца ребенка). Улучшить жилищные условия ребенка (следовательно и свои) мать сможет-но с разрешения органа опеки и попечительства, поскольку это связано с продажей собственности ребенка.

Оформить квартиру в собственность 1.5 годовалого ребенка можно. Действовать от его имени и подписывать договор купли-продажи будет законный представитель, любой из родителей, в данном случае отец. Он же и будет решать вопрос своей прописки в этой квартире. А вообще-то он обязан обеспечить ребенка местом ПРОЖИВАНИЯ, это не обязывает его покупать квартиру в его собственность. Он вправе купить квартиру на свое имя и дать возможность ребенку с мамой там проживать. Надо внимательно читать решение суда. Распорядиться квартирой до 18 летия ребенка можно, но с обязательным согласием на это органов опеки и попечительства. А они дают такое согласие только в случае, если такое отчуждение не нарушает его права.