Мусульманская пара столкнулась с трудностями при регистрации брака в России - необходимость справки из Сирии и беременность на фоне отсутствия официального брака

Без справки не зарегистрируют. Пробуйте получить справку через посольство.

Думаю такое заявление не будет иметь юридической силы. Попробуйте обратиться в Посольства Сирии возможно они помогут выдать справку или подскажут как действовать. Второй вариант не совсем юридический (честный) сделайте такую справку с помощью помощников в интернете. Если у нас помогают с паспортами, регистрациями и т.п. то возможно кто-то поможет и со справкой. Думаю данный вопрос возможно решить. А юридически после рождения ребенка можете воспользоваться ст.48 СК РФ

Статья 48. Установление происхождения ребенка

1. Происхождение ребенка от матери (материнство) устанавливается на основании документов, подтверждающих рождение ребенка матерью в медицинской организации, а в случае рождения ребенка вне медицинской организации на основании медицинских документов, свидетельских показаний или на основании иных доказательств.

(в ред. Федеральных законов от 15.11.1997 N 140-ФЗ, от 25.11.2013 N 317-ФЗ)

2. Если ребенок родился от лиц, состоящих в браке между собой, а также в течение трехсот дней с момента расторжения брака, признания его недействительным или с момента смерти супруга матери ребенка, отцом ребенка признается супруг (бывший супруг) матери, если не доказано иное (статья 52 настоящего Кодекса). Отцовство супруга матери ребенка удостоверяется записью об их браке.

3. Исключен. - Федеральный закон от 15.11.1997 N 140-ФЗ.

3. Отцовство лица, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается путем подачи в орган записи актов гражданского состояния совместного заявления отцом и матерью ребенка; в случае смерти матери, признания ее недееспособной, невозможности установления места нахождения матери или в случае лишения ее родительских прав - по заявлению отца ребенка с согласия органа опеки и попечительства, при отсутствии такого согласия - по решению суда.

При наличии обстоятельств, дающих основания предполагать, что подача совместного заявления об установлении отцовства может оказаться после рождения ребенка невозможной или затруднительной, родители будущего ребенка, не состоящие между собой в браке, вправе подать такое заявление в орган записи актов гражданского состояния во время беременности матери. Запись о родителях ребенка производится после рождения ребенка.

4. Установление отцовства в отношении лица, достигшего возраста восемнадцати лет (совершеннолетия), допускается только с его согласия, а если оно признано недееспособным, - с согласия его опекуна или органа опеки и попечительства.