Можно ли выкупить квартиру у государства (в квартире никто не прописан, она собственность жилищного департамента)

Такую квартиру Департамент скорее предоставит очереднику.

В соответствии с Федеральным законом от 06.10.2003 № 131-ФЗ «Об общих принципах организации местного самоуправления в Российской Федерации», Федеральным законом от 21.12.2001 № 178-ФЗ «О приватизации государственного и муниципального имущества», постановлением Правительства Российской Федерации от 12.08.2002 №585 «Об утверждении положения об организации продажи находящегося в государственной или муниципальной собственности акций открытых акционерных обществ на специализированном аукционе», Уставом муниципального образования, Порядком приватизации муниципального имущества, утвержденным Решением Совета депутатов муниципального образования, Прогнозным планом приватизации имущества, находящегося в муниципальной собственности, отчетом «Об оценке рыночной стоимости права собственности на квартиру" - возможна продажа квартиры, но её необходимо признать не пригодной для проживания или перевести в нежилой фонд, поскольку муниципальные жилые помещения предоставляются только нуждающимся по договор соцнайма.

Возможен второй вариант предоставление квартиры по договору коммерческого или служебного найма, потом перевод в соцжильё и приватизация.

Целиком квартиру? Нет. Такого не получится - её определят кому-то из очередников.