Необходимо ли оплачивать вторую квитанцию за содержание и ремонт, если работы не производились?

Вы должны оплатить 2 квитанцию, т.к. в соответствии с п. 28 Постановлением Правительства РФ от 13.08.2006 N 491 "Об утверждении Правил содержания общего имущества в многоквартирном доме и правил изменения размера платы за содержание и ремонт жилого помещения в случае оказания услуг и выполнения работ по управлению, содержанию и ремонту общего имущества в многоквартирном доме ненадлежащего качества и (или) с перерывами, превышающими установленную продолжительность", собственники помещений обязаны нести бремя расходов на содержание общего имущества соразмерно своим долям в праве общей собственности на это имущество путем внесения:

а) платы за содержание и ремонт жилого помещения в многоквартирном доме - в случае управления многоквартирным домом управляющей организацией или непосредственно собственниками помещений;

б) обязательных платежей и взносов собственников помещений, являющихся членами товарищества собственников жилья, жилищного, жилищно-строительного кооператива или иного специализированного потребительского кооператива. При этом собственники помещений, не являющиеся членами указанных организаций, вносят плату за содержание и ремонт жилого помещения в соответствии с частью 6 статьи 155 Жилищного кодекса Российской Федерации.

Если Вас не устраивает работа УК, то на общем собрании собственников вы можете выбрать другой способ управления.

Также Вы можете обратиться с жалобй на УК в Жилищную инспекцию.

Правомерна, вот за капремонт - под вопросом.