Возможно ли получить РВП в РФ, будучи студенткой и имея студенческую визу?

Однако для свободного трудоустройства в определённом регионе РФ, если не ошибаюсь, нужно получить РВП.

РВП возможно, но не обязательно. Его очень сложно получить и на основании только студенческой визы Вам его не предоставят.

Федеральный закон от 25.07.2002 N 115-ФЗ (ред. от 13.07.2015) "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации"

Статья 13. Трудовая деятельность иностранных граждан в Российской Федерации

4. Работодатель и заказчик работ (услуг) имеют право привлекать и использовать иностранных работников при наличии разрешения на привлечение и использование иностранных работников, а иностранный гражданин имеет право осуществлять трудовую деятельность в случае, если он достиг возраста восемнадцати лет, при наличии разрешения на работу или патента. Указанный порядок не распространяется на иностранных граждан:

6) обучающихся в Российской Федерации в профессиональных образовательных организациях и образовательных организациях высшего образования и выполняющих работы (оказывающих услуги) в течение каникул

7) обучающихся в Российской Федерации в профессиональных образовательных организациях и образовательных организациях высшего образования и работающих в свободное от учебы время в этих образовательных организациях, в хозяйственных обществах или в хозяйственных партнерствах, созданных бюджетными или автономными образовательными организациями высшего образования, в которых они обучаются.

можно ли подавать на РВП имея студенческую визу, и потом в сл. году уже не продлевать данную визу ещё на год, а продолжить учиться (и работать) по РВП?

Не выдадут Вам РВП по студенческой визе.Квот на выдачу РВП в вашем регионе нет.