Как изменение фамилии может повлиять на наследство и оформление документов

До моего рождения, мой отец получил паспорт с ошибкой в одну букву, в фамилии. Женился на моей матери и дал ей фамилию с этой ошибкой, потом родился я.При моём рождении мне выдали свидетельство о рождении, с той самой ошибкой.

Через 20 лет отец поменял фамилию, на основании своего свидетельства о рождении (почему он это не сделал сразу я этого понять не могу), где одна буква отличается от старой фамилии, которая указана в моём свидетельстве о рождении. Все документы-приватизация, земельный участок, дом,завещание на меня, он уже оформлял с новым паспортом, где фамилия не совпадает с фамилией в моём свидетельстве о рождении. В данный момент он умер и я хотел вступить в наследство, но натариус мне сказал, для того, что бы не платить госпошлину, я должен доказать то,что мой отец являлся моим отцом.

Если я возьму его свидетельство о рождении, принесу его в ЗАГС, где мне выдали моё свидетельство о рождении, и попрошу исправить его фамилию, в моём свидетельстве о рождении, на ту,с которой все документы оформлены, я имею право остаться со старой фамилией (что бы не исправлять мои документы) или ЗАГС будет обязан поменять фамилии всем, мне,отцу и моей матери?

И если в завещании, написано, завещаю всё своё движимое и не движимое имущество, на момент своей смерти, МОЕМУ СЫНУ (дальше мои данные)-этого не достаточно для доказательства того, что он мой отец, даже если у нас отличаются фамилии в одну букву?