Я проживаю на территории ЛНР (гражданство Украина). Могу ли я работать на территории России без оформления патента на работу?

Нет, не можете, только официально оформлять в ФМС РФ.

Здравствуйте Анастасия!

За работу в России без оформления патента на работу предусмотрена административная ответственность.

Статья 18.10. Незаконное осуществление иностранным гражданином или лицом без гражданства трудовой деятельности в Российской Федерации

(в ред. Федерального закона от 05.11.2006 N 189-ФЗ)

1. Осуществление иностранным гражданином или лицом без гражданства трудовой деятельности в Российской Федерации без разрешения на работу либо патента, если такие разрешение либо патент требуются в соответствии с федеральным законом, либо осуществление иностранным гражданином или лицом без гражданства трудовой деятельности в Российской Федерации по профессии (специальности, должности, виду трудовой деятельности), не указанной в разрешении на работу или патенте, если разрешение на работу или патент содержит сведения о профессии (специальности, должности, виде трудовой деятельности), либо осуществление иностранным гражданином или лицом без гражданства трудовой деятельности вне пределов субъекта Российской Федерации, на территории которого данному иностранному гражданину выданы разрешение на работу, патент или разрешено временное проживание, -

(в ред. Федеральных законов от 19.05.2010 N 86-ФЗ, от 24.11.2014 N 357-ФЗ, от 29.06.2015 N 199-ФЗ)

влечет наложение административного штрафа в размере от двух тысяч до пяти тысяч рублей с административным выдворением за пределы Российской Федерации или без такового.

(в ред. Федерального закона от 22.06.2007 N 116-ФЗ)

2. Нарушение, предусмотренное частью 1 настоящей статьи, совершенное в городе федерального значения Москве или Санкт-Петербурге либо в Московской или Ленинградской области, -

влечет наложение административного штрафа в размере от пяти тысяч до семи тысяч рублей с административным выдворением за пределы Российской Федерации.

(часть 2 введена Федеральным законом от 23.07.2013 N 207-ФЗ)

Исходя из изложенного Вы не сможете официально работать в РФ без оформления патента.