Имеются ли ограничения по времени или можно подать его во время суда, как в суде доказать, что причинен вред именно на эту сумму.

Вас должны признать потерпевшими по делу. Если этого ещё не сделано, пишите заявление следователю.

Для признании вас гражданским истцом вам также необходимо написать заявление, в котором указать заявленный вами размер компенсации морального вреда, причинённого преступлением. Заявление можно подать следователю до окончания предварительного следствия, либо в суд, если дело уже рассматривается в суде. Госпошлина за гражданский иск, заявленный в рамках уголовнорго дела, не платится. Если у погибшего есть несовершеннолетние дети или недееспособные лица, то гражданский иск за них предъявляется законным представителем.

Что касается суммы компенсации морального вреда, то скромничать не надо, заявляете сумму от ста до пятисот тысяч рублей. Суд всё равно как правило урезает, и с этим пока что ничего не поделаешь. А чтобы сильно не урезал, нужно подобрать судебную практику по аналогичным делам, где суд взыскаивал приличные суммы в качестве компенсации морального вреда. Ну и грамотно отстаивать свою позицию в суде.

Кроме морального вреда, взыскивайте расходы на погребение (если не остались подтверждения - запросите в организациях, к которым обращались); если остались несовершеннолетние дети - припишите компенсацию за потерю кормильца со ссылкой на доходы мужа.