И могут ли они отказать мне в приеме заявления на возмещение ущерба?

Что касается описанной Вами ситуации, следует помнить, что ОСАГА предусматривает вред причинённый ТС, а не его собственником, поэтому Вам должна заплатить страховая, если в договоре не указаны какие-либо ограничения по этому вопросу. Поэтому для постановки точки над "и" было бы неплохо Вам ознакоимиться с текстом договора ОСАГО.

Нет, в приёме заявления Вам отказать не могут, другое дело удовлетворят они его или нет. В случае отказа страховая обязана мотивировать свой отказ, который Вы вправе обжаловать в суде.

Они не имеют права отказать Вам в приёме заявления. На копии заявления пусть поставят печать о принятии. Копии всех документов, которые передаёте, сохраняйте; рекомендую переавать их по описи. Если заявление не примут, отправьте его по почте с описью вложения.

Ответственность считается застрахованной, если у виновника была доверенность (см. определение владельца ТС в ст.1 ФЗ об ОСАГО). Её наличие презюмируется (ездить без доверенности - административное правонарушение; если человек не привлечён к ответственности за него, значит, всё было в порядке). После выплаты страховщик может взыскать с виновника выплаченную сумму (ст.14 ФЗ об ОСАГО).

Если Вам потребуется ведение дела юристом, специализирующимся на страховых спорах, обращайтесь.