Становится ли при этом квартира "коммунальной", и какая часть в этом случае будет принадлежать дочери?

Если только будет соблюдена ст.250 ГК РФ, мать сначала должна предложить купить доочери письменно, только потом вам сможет продать.

Дочери останется ее часть.

Квартира в натуре не делится - только идеальные доли .

Нужно только опрежедиться - правильно ли они оформили наследство.

Квартира считаться коммунальной не будет, поскольку коммунальная квартира - квартира с разделенными несколькими лицевыми счетами. Поскольку квартира частная, на сегодняшний день лицевые счета в ней не могут быть разделены. Если Вы приобретете половину, то вторая половина как принадлежала дочери, так и будет ей принадлежать. Между тем закон устанавливает определенный порядок распоряжения общей собственностью. В частности, ст. 250 Гражданского кодекса предусматривает преимущественное право покупки доли собственности вторым сособственником квартиры. Так при продаже доли в праве общей собственности постороннему лицу остальные участники долевой собственности имеют преимущественное право покупки продаваемой доли по цене, за которую она продается, и на прочих равных условиях, кроме случая продажи с публичных торгов.

Продавец доли обязан известить в письменной форме остальных участников долевой собственности о намерении продать свою долю постороннему лицу с указанием цены и других условий, на которых продает ее. Если остальные участники долевой собственности откажутся от покупки или не приобретут продаваемую долю в праве собственности на недвижимое имущество в течение месяца, продавец вправе продать свою долю любому лицу. При продаже доли с нарушением преимущественного права покупки любой другой участник долевой собственности имеет право в течение трех месяцев требовать в судебном порядке перевода на него прав и обязанностей покупателя.

Это условие вам необходимо будет учесть. С уважением,