Как уволить сотрудника за систематическое прогуливание работы и нарушение правил внутреннего распорядка без документального подтверждения?

Если документального подтверждения нет, то и уволить не сможете.

Попытайтесь уволить за прогулы, либо по сокращению, отказ в даче объяснительной оформите актом

Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя

[Трудовой кодекс РФ] [Глава 13] [Статья 81]

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:

1) ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем;

2) сокращения численности или штата работников организации, индивидуального предпринимателя;

3) несоответствия работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации;

4) смены собственника имущества организации (в отношении руководителя организации, его заместителей и главного бухгалтера);

5) неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание;

6) однократного грубого нарушения работником трудовых обязанностей:

а) прогула, то есть отсутствия на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены), независимо от его (ее) продолжительности, а также в случае отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены);

А что мешает составить акт о появлении на рабочем месте в состоянии алкогольного опьянения или акт об отсутствии на рабочем месте и провести служебную проверку? Отказ от дачи объяснений никаким препятствием для увольнения не являться. Главное, чтобы эти объяснения ему предложено было дать. Если не было никаких служебных проверок по фактам его систематических нарушений трудовой дисциплины, то и за неоднократное нарушение трудовой дисциплины не уволить. Проведите служебную проверку по его последнему нарушению - алкогольное опьянение или прогул и увольняйте за однократное грубое нарушение трудовых обязанностей. Только качественно проверку проведите, с дачей объяснений его коллег по работе, с актом о том, что предлагалось дать письменные пояснения, а работник отказался и т.д.