Как восстановить утерянные документы на квартиру и оформить договор дарения в ситуации с совладельцем-племянницей?

Восстановите документы через Росреестр (мфц).

Далее можете дарить сыну без согласия племянницы.

Но договор делать действительно только через нотариуса, т.к. дарение доли.

Нотариус не прав. Если Вы являетесь собственником доли - то вправе распоряжаться ею. Обращайтесь к другому нотариусу. Для подтверждения права собственности Вам достаточно взять выписку из ЕГРП. Так же в Росреестре можете заказать копию свидетельства о вступлении в наследство, на основании которой оформлялось право собственности.

Подарить можете без согласия второго сособственника.

Регистрация перехода права собственности производится в РОсреестре по месту нахождения недвижимости.

Как раз договор дарения вы имеете право сделать без согласия второго собственника.У любого нотариуса

А какие все документы требует нотариус? Достаточно выписки из ЕГРН и кадастрового паспорта, которые вы можете как собственник заказать в соответствующих службах в любой момент, если вы получили эти доли по наследству, то правоустанавливающим документом будет свидетельство о праве на наследство, который также храниться у нотариуса, в крайнем случае копию этого документы вы можете запросить в Росреестре. Свою долю вы можете подарить без чьих-то согласий, дарение удостоверяется у нотариуса с последующей регистрацией перехода права в россреестре