Может ли отец подарить квартиру, на которой я прописан, без моего выселения?

Здравствуйте! Если он собственник квартиры, то имеет право подарить квартиру. То, что Вы в ней зарегистрированы, это не является препятствием для дарения. В договоре дарения указывается, что такой-то зарегистрирован и обязуется сняться с учета. Если не снимаетесь, то новый собственник имеет право выселить в судебном порядке.

Если одаряемый согласен на то, что в его квартире будет зарегистрирован человек, то сделку можно проводить с зарегистрированным в квартире человеком, но в договоре дарения про него должно быть указано. Если одаряемый не согласится на это, то нужно выписать. Сам не выпишется, то через суд.

Статья 31 ЖК РФ. Права и обязанности граждан, проживающих совместно с собственником в принадлежащем ему жилом помещении

 Статьей 19 Федерального закона от 29.12.2004 N 189-ФЗ установлено, что действие положений части 4 статьи 31 не распространяется на бывших членов семьи собственника приватизированного жилого помещения при условии, что в момент приватизации данного жилого помещения указанные лица имели равные права пользования этим помещением с лицом, его приватизировавшим, если иное не установлено законом или договором. Статья 19 Федерального закона от 29.12.2004 N 189-ФЗ признана частично не соответствующей Конституции РФ Постановлением Конституционного Суда РФ от 24.03.2015 N 5-П.

4. В случае прекращения семейных отношений с собственником жилого помещения право пользования данным жилым помещением за бывшим членом семьи собственника этого жилого помещения не сохраняется, если иное не установлено соглашением между собственником и бывшим членом его семьи. Если у бывшего члена семьи собственника жилого помещения отсутствуют основания приобретения или осуществления права пользования иным жилым помещением, а также если имущественное положение бывшего члена семьи собственника жилого помещения и другие заслуживающие внимания обстоятельства не позволяют ему обеспечить себя иным жилым помещением, право пользования жилым помещением, принадлежащим указанному собственнику, может быть сохранено за бывшим членом его семьи на определенный срок на основании решения суда. При этом суд вправе обязать собственника жилого помещения обеспечить иным жилым помещением бывшего супруга и других членов его семьи, в пользу которых собственник исполняет алиментные обязательства, по их требованию.