Отказ ответчику в принятии встречного иска

Любое определение мирового судьи вы можете обжаловать в апелляционном порядке, в том числе и определение об отказе в приеме к производству встречного иска. (ГПК РФ).

Нет, Анатолий Александрович, не можете, поскольку это не предусмотрено законом:

ГРАЖДАНСКИЙ ПРОЦЕССУАЛЬНЫЙ КОДЕКС

Статья 138. Условия принятия встречного иска

Судья принимает встречный иск в случае, если:

встречное требование направлено к зачету первоначального требования;

удовлетворение встречного иска исключает полностью или в части удовлетворение первоначального иска;

между встречным и первоначальным исками имеется взаимная связь и их совместное рассмотрение приведет к более быстрому и правильному рассмотрению споров.

Статья 331. Право обжалования определения мирового судьи

1. Определение мирового судьи может быть обжаловано в районный суд сторонами и другими лицами, участвующими в деле, отдельно от решения суда, а прокурором может быть принесено представление в случае, если:

1) это предусмотрено настоящим Кодексом;

2) определение мирового судьи исключает возможность дальнейшего движения дела.

2. На остальные определения мирового судьи, за исключением указанных в части первой настоящей статьи, частные жалобы и представления прокурора не подаются, возражения относительно этих определений могут быть включены в апелляционные жалобу, представление.