Семье с арестованными счетами в Сбербанке грозит лишение средств к существованию - имеет ли судебный пристав право на такие действия?

Вообще-то должны принимать. Если есть электронная цифровая подпись.

Федеральный закон от 02.10.2007 N 229-ФЗ (ред. от 28.12.2016) "Об исполнительном производстве"

Статья 50. Права и обязанности сторон исполнительного производства

1. Стороны исполнительного производства вправе знакомиться с материалами исполнительного производства, делать из них выписки, снимать с них копии, представлять дополнительные материалы, заявлять ходатайства, участвовать в совершении исполнительных действий, давать устные и письменные объяснения в процессе совершения исполнительных действий, приводить свои доводы по всем вопросам, возникающим в ходе исполнительного производства, возражать против ходатайств и доводов других лиц, участвующих в исполнительном производстве, заявлять отводы, обжаловать постановления судебного пристава-исполнителя, его действия (бездействие), а также имеют иные права, предусмотренные законодательством Российской Федерации об исполнительном производстве. До окончания исполнительного производства стороны исполнительного производства вправе заключить мировое соглашение, соглашение о примирении, утверждаемые в судебном порядке.

(в ред. Федерального закона от 08.03.2015 N 23-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1.1. Заявления, ходатайства, объяснения, отводы и жалобы могут быть поданы стороной исполнительного производства должностному лицу службы судебных приставов в форме электронного документа, подписанного стороной исполнительного производства электронной подписью в порядке, установленном федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по нормативно-правовому регулированию в сфере юстиции, по согласованию с федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере информационных технологий.

(часть 1.1 в ред. Федерального закона от 03.07.2016 N 274-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1.2. Вид электронной подписи и требования к форматам заявлений, ходатайств, объяснений, отводов и жалоб в форме электронного документа определяются федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по исполнению судебных актов, актов других органов и должностных лиц, по согласованию с федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере информационных технологий.

(часть 1.2 введена Федеральным законом от 03.07.2016 N 274-ФЗ)

2. Стороны исполнительного производства несут обязанности, установленные настоящим Федеральным законом и иными федеральными законами.