Как получить документы, подтверждающие мой трудовой стаж после работы по трудовому соглашению?

Да, разумеется, вы можете в этой организации получить подтверждающие ваш стаж документы если вам их дадут там, или через суд установить этот стаж.

Да Вы можете запросить.

ТК РФ, Статья 62. Выдача документов, связанных с работой, и их копий

По письменному заявлению работника работодатель обязан не позднее трех рабочих дней со дня подачи этого заявления выдать работнику трудовую книжку в целях его обязательного социального страхования (обеспечения), копии документов, связанных с работой (копии приказа о приеме на работу, приказов о переводах на другую работу, приказа об увольнении с работы; выписки из трудовой книжки; справки о заработной плате, о начисленных и фактически уплаченных страховых взносах на обязательное пенсионное страхование, о периоде работы у данного работодателя и другое). Копии документов, связанных с работой, должны быть заверены надлежащим образом и предоставляться работнику безвозмездно.

(в ред. Федеральных законов от 30.06.2006 N 90-ФЗ, от 21.07.2014 N 216-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Части вторая - третья утратили силу. - Федеральный закон от 30.06.2006 N 90-ФЗ.

(см. текст в предыдущей редакции)

Работник обязан не позднее трех рабочих дней со дня получения трудовой книжки в органе, осуществляющем обязательное социальное страхование (обеспечение), вернуть ее работодателю.

Напишите заявление, в случае отказа обратитесь в прокуратуру. Всего хорошего.