Какой срок для подачи заявления о рассрочке административного штрафа и есть ли вероятность получить положительное решение судьи?

Подать можете в любой срок после вступления решения суда в законную силу. Шансы есть, однако для их определения надо знать статью, размер штрафа, материальное положение правонарушителя, обстоятельства после уплаты штрафа и прочее

"Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях" от 30.12.2001 N 195-ФЗ (ред. от 07.06.2017)

""КоАП РФ, Статья 31.5. Отсрочка и рассрочка исполнения постановления о назначении административного наказания

""1. При наличии обстоятельств, вследствие которых исполнение постановления о назначении административного наказания в виде административного ареста, лишения специального права, принудительного выдворения за пределы Российской Федерации иностранного гражданина или лица без гражданства или в виде административного штрафа невозможно в установленные сроки, судья, орган, должностное лицо, вынесшие постановление, могут отсрочить исполнение постановления на срок до одного месяца.

(в ред. Федеральных законов от 09.11.2009 N 249-ФЗ, от 08.03.2015 N 57-ФЗ)

(см. текст в предыдущей "редакции")

""2. С учетом материального положения лица, привлеченного к административной ответственности, уплата административного штрафа может быть рассрочена судьей, органом, должностным лицом, вынесшими постановление, на срок до трех месяцев.

3. Отсрочка или рассрочка исполнения постановления о назначении административного наказания в виде административного штрафа не применяется в отношении иностранных граждан и лиц без гражданства, которым административный штраф назначен одновременно с административным выдворением за пределы Российской Федерации, а также в отношении лиц, которым назначен административный штраф за совершение административных правонарушений, предусмотренных статьями 11.26, 11.29, 12.9, частями 6 и 7 статьи 12.16, статьей 12.21.3 настоящего Кодекса, в случае совершения данных административных правонарушений с использованием транспортных средств, принадлежащих иностранным перевозчикам.

(часть 3 введена Федеральным законом от 28.12.2013 N 383-ФЗ; в ред. Федеральных законов от 24.11.2014 N 362-ФЗ, от 14.12.2015 N 378-ФЗ)

(см. текст в предыдущей "редакции")

4. При применении отсрочки или рассрочки исполнения постановления о назначении административного наказания суд, орган, должностное лицо, вынесшие постановление, указывают в постановлении срок, с которого начинается исполнение административного наказания.

(часть 4 введена Федеральным законом от 08.03.2015 N 57-ФЗ)